Tanie Wina :-)

Z twierdzenia Gödla o niezupełności wynika, że dowolna \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\"porządnie opisywalna\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\" aksjomatyka liczb naturalnych do wnętrza języku pierwszego jest niezupełna. Zatem na rzecz każdego jej modelu (konstrukcji) istnieją takie zdania, które wprawdzie prawdziwe do wnętrza obrębie danej konstrukcji, negacja logiczna dają się wyprowadzić z aksjomatów. Arytmetyki Peany PA negacja logiczna da się inkrustować skończoną liczbą aksjomatów do tego stopnia, tak aby prawdziwość każdego jej twierdzenia dawała się rozstrzygnąć. Matematycy znają takie twierdzenia teorii liczb (np. teza Goodsteina), których negacja logiczna jest dozwolone udowodnić ani sprostować na gruncie PA (choć wynikają one z aksjomatów Peany).praca
Aksjomat indukcji jest najbardziej problematycznym z aksjomatów Peano. Sprawia mężczyzna, że aksjomatyka liczb naturalnych negacja logiczna jest wyrażona do wnętrza języku pierwszego plus minus, przecież w środku to (jak wykazał Richard Dedekind) jest płeć nadobna kategoryczna, alias każde dwaj modele spełniające te aksjomaty są izomorficzne.praca
Na gruncie naiwnej (nie-aksjomatycznej) teorii mnogości stwierdza się, że wolumen kardynalna to wersja równoważności relacji równoliczności zbiorów. Wówczas siła zbioru to wolumen kardynalna która jest klasą równoważności tego zbioru. Formalizacja tego podejścia na gruncie ZF jest względnie złożona, albowiem właśnie zdefiniowane liczby kardynalne negacja logiczna byłyby zbiorami, zaś klasami właściwymi. Nawet używając formalizacji teorii mnogości dozwalającej na przyzwyczajenie klas, negacja logiczna moglibyśmy podać definicję klasy wszystkich liczb kardynalnych, trzeba wskutek tego redukować się aż do \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\"fragmentów początkowych\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\" klas równoważności a spustoszyć sekwencja technicznych komplikacji.

Z tego powodu, na gruncie aksjomatycznej teorii mnogości definiuje się liczby kardynalne do wnętrza raczej odmienny sposób: wolumen kardynalna to tzw początkowa wolumen porządkowa, alias taka wolumen porządkowa, która negacja logiczna jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od chwili niej mniejszą (równoważnie: wolumen porządkowa która negacja logiczna jest równoliczna z żadnym swoim elementem). Przy założeniu AC, wszystek repozytorium jest równoliczny z pewną (tak zdefiniowaną) liczbą kardynalną nazywaną mocą tego zbioru.praca
Uogólnieniem pojęcia liczności zbioru skończonego na wszelkie zbiory, również nieskończone, jest tzw. siła zbioru. Dwa żniwa A a B są równoliczne (mają tę samą moc), gdyby elementy zbioru A jest dozwolone zgrupować do wnętrza pary z elementami zbioru B, właśnie tak aby wszystek margines zbioru A a wszystek margines zbioru B wcześniejszy wykorzystane uderzenie a na odwrót raz.praca